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1. Introdução
1.1 Problema analisado
Na engenharia estrutural a maioria dos elementos lineares de con-
creto armado é dimensionada de maneira simplificada, usando-se
a Hipótese de Bernoulli. Entretanto, a aplicação dessa hipótese
para todo o elemento estrutural pode levar ao super ou sub-dimen-
sionamento de certas partes da estrutura. Essa hipótese é válida
para trechos da peça onde não há interferências de regiões mais
rígidas (como trechos próximos aos pilares) ou onde a influência
das deformações devido ao esforço cortante é desprezível. Ou
ainda nas regiões onde não há aberturas próximas.
Assim, há elementos estruturais ou regiões onde as Hipóteses de
Bernoulli de flexão não representam adequadamente o compor-
tamento estrutural ou a distribuição de tensões. Como exemplos,
citam-se os elementos estruturais como vigas-parede, consolos,
sapatas, blocos de fundação e regiões especiais como ligação
viga-pilar, aberturas em vigas ou regiões com descontinuidades
geométricas.
Estas regiões, denominadas “Regiões D” de descontinuidade, se
limitam a distâncias da ordem das dimensões dos elementos es-
truturais adjacentes (Princípio de Saint Vernant); nelas as tensões
de cisalhamento são significativas e a distribuição das deforma-
ções na seção transversal não é linear.
Para a análise mais realista do comportamento físico dessas regi-
ões, é comum empregar o modelo de bielas e tirantes, que é uma
generalização da analogia clássica do modelo de treliça para vi-
gas. Essa analogia - apresentada por Ritter e Morsch no início do
século XX - associa a viga em concreto armado a uma estrutura
treliçada equivalente. Os elementos discretos (barras) represen-
tam os campos de tensões de tração (denominados tirantes) e
de compressão (denominados bielas) que surgem no elemento
estrutural. Esta analogia foi melhorada e é ainda utilizada pelas
normas técnicas no dimensionamento de vigas em concreto ar-
mado devido à flexão e à força cortante, estabelecendo critérios
diversos para a determinação dos limites de segurança nos seus
procedimentos.
A partir da década de 80, pesquisadores da Universidade de Stut-
tgart apresentaram diversos trabalhos que buscam avaliar de for-
ma mais adequada essas regiões. O trabalho pioneiro de Schlaich
et al
. [1] descreve o modelo de bielas e tirantes de maneira mais
generalizada, inclusive abrangendo o modelo de treliça de flexão,
que abarca estas regiões e elementos estruturais especiais.
A analogia utilizada no modelo de bielas e tirantes utiliza a mesma
ideia da teoria clássica de definir barras representando o fluxo de
tensões, procurando assim criar o menor caminho das cargas e o
mais lógico. Por se tratar de um procedimento simples, é neces-
sária a experiência e sensibilidade do projetista para escolher e
distribuir os elementos de maneira a melhor representar este fluxo
de tensões, sendo isso realizado de forma manual, sem automa-
tização para tal procedimento. Muitas vezes, para estruturas mais
complexas, o engenheiro projetista pode não ter a experiência su-
ficiente para definir o fluxo de tensões de forma adequada, por
exemplo, para estruturas que contêm muitas aberturas previstas
em projetos. Seguindo a tendência tecnológica de desenvolver
ferramentas mais confiáveis e automáticas para ajudar o proje-
tista na definição dessa configuração geométrica/estrutural ótima,
a análise numérica vem há anos fornecendo subsídios para esse
fim, com novas teorias, formulações, cada vez com maior rapidez
de processamento e fácil interpretação gráfica para posterior di-
mensionamento.
Nesse contexto, o emprego de técnicas de otimização topológica
(OT) vem sendo empregado há alguns anos para subsidiar o pro-
jetista na identificação dessas regiões, destacando os trabalhos
de Ali [2], Liang e Steven [3], Liang
et al
. [4], Liang
et al
. [5], Liang
et al
. [6], Liang [7], Reineck [8] e Brugge [9].
A OT é um tema recente no campo da otimização estrutural. En-
tretanto, os conceitos básicos que dão suporte teórico ao método
foram estabelecidos há mais de um século, conforme descreve
Rozvany
et al
. [10]. A sua grande vantagem em contraste com os
métodos tradicionais de otimização, como a otimização de forma
ou a otimização paramétrica, é que esses métodos não são ca-
pazes de alterar o leiaute da estrutura original; sendo assim, não
auxiliam o projeto conceitual da estrutura para a concepção do
fluxo adequado de tensões.
Na OT, duas metodologias vêm se destacando. A abordagem mi-
cro, que trata da existência de uma microestrutura porosa, define
as relações constitutivas do material em função da sua geometria e
da densidade volumétrica de uma célula unitária representativa do
material; por sua vez, é equacionada por variáveis contínuas suces-
sivamente distribuídas no espaço do domínio fixo estendido, que
consiste numa região onde pode existir a estrutura, Stump [11]. Um
exemplo para este grupo é o método SIMP (Simple Isotropic Mate-
rial with Penalization), descrito em Bendsøe [12], Rozvany
et al
. [13]
e [10]. Na abordagem macro, a topologia da estrutura é modificada
mediante a inserção de furos no domínio. Como exemplos deste
grupo de OT citam-se o ESO (Evolutionary Structural Optimization),
que é baseado no cálculo da função objetiva quando um elemento
é removido da malha de elementos finitos, e a TSA (Topological
Sensitivity Analysis), baseado em uma função escalar, denominada
Derivada Topológica, que fornece para cada ponto do domínio de
definição do problema a sensibilidade da função custo quando um
pequeno furo é criado, Labanowski
et al
. [14].
Com o objetivo de propor uma ferramenta eficaz para o desenvol-
vimento do modelo de bielas e tirantes, será usada neste trabalho
a técnica de otimização topológica SESO - Smoothing ESO, de-
senvolvido em Simonetti
et al
. [15]. Trata-se de uma variante do
método ESO, cuja filosofia baseia-se na observação de que se o
elemento não for realmente necessário à estrutura, naturalmente
sua contribuição de rigidez diminui progressivamente, até que ele
não tenha mais influência. Isto é, sua remoção é feita de forma
suave, atenuando os valores da matriz constitutiva do elemento,
como se este estivesse em processo de danificação, sendo capaz
de gerar os membros ideais de bielas e tirantes.
2. Otimização estrutural evolucionária
(ESO)
Xie e Steven [16] desenvolveram uma maneira bem simples de
impor modificações na topologia da estrutura, feita mediante heu-
rística de remoção gradual e sistemática de elementos finitos da
malha, correspondentes a regiões que não contribuem efetiva-
mente na estrutura.
Define-se inicialmente uma malha de elementos finitos que cir-
cunscreva toda a estrutura, ou domínio estendido do projeto, de
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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
V. S. ALMEIDA
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H. L. SIMONETTI
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L. OLIVEIRA NETO