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156 IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
The strut-and-tie models in reinforced concrete structures analysed by a numerical technique
ca, denominado Smoothing Evolutionary Structural Optimization
(SESO) para este fim. Ele, em síntese, emprega um procedimento
evolucionário de retirada “suave” de elementos em conjunto com
o método dos elementos finitos na realização da análise elástica.
Define-se, a priori, um domínio inicial estendido e, iterativamente,
o método busca uma configuração topológica ótima em que natu-
ralmente ficam definidos os membros indicados por bielas e tiran-
tes. Dessa forma, os esforços nos membros podem ser avaliados
para possibilitar o dimensionamento e os reforços estruturais ne-
cessários para cada trecho ou região. Em contrapartida ao método
ESO, [7], a presente formulação apresenta uma configuração mais
robusta, sem a presença de efeitos colaterais existentes no ESO
como o problema do “tabuleiro de xadrez”, conforme já descritos
em [15] e [20]. Os três exemplos apresentados demonstraram boa
acurácia com os valores descritos por outros autores. Foram pro-
postas também a quantificação e a disposição de armaduras para
um exemplo clássico descrito na literatura sobre o assunto.
7. Agradecimentos
Os autores agradecem ao Departamento de Engenharia de Estru-
turas e Geotécnica da Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo (EPUSP), a Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e
a Universidade Estadual Paulista (UNESP) pelo suporte financeiro
desta pesquisa.
8. Referências
[01] Schlaich, J; Schafer, K; Jennewe, M. Toward a
consistent design of structural concrete. PCI-Journal,
vol. 32, nr.3, p. 74 – 150, May/June, 1987.
[02] ALI, M. Automatic generation of truss model for the
optimal design of reinforced concrete structures.
Dissertation. Cornell University, Ithaca, NY, USA, 1997.
[03] Liang, Q.Q; Steven, G.P. A performance-based
optimization method for topology design of continuum
structures with mean compliance constraints,
Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 191, 13-14, 1471-1489, 2002.
[04] LIANG, Q.Q.; XIE, Y.M., STEVEN, G.P. On equivalent
between stress criterion and stiffness criterion in
evolutionary structural optimization, Structural
Optimization 18,67-13, Springer – Verlag 1999.
[05] Liang, Q.Q.; Xie, Y.M., Steven, G.P. “Topology
optimization of strut-and-tie models in reinforced
concrete structures using an evolutionary procedure”,
ACI Structural Journal, Vol. 97, No. 2, pp. 322-330,
2000.
[06] Liang, Q.Q; Uy, B.; Steven, G.P. Performance-Based
Optimization for Strut-Tie Modeling of Structural
Concrete. Journal of Structural Engineering,
pp. 815p–823, 2002.
[07] LIANG, Q.Q. Performance-based Optimization of
Structures: Theory and applications, Spon Press,
London, 2005.
[08] Reineck, Karl-Heinz. Shear and concrete tensile
strength in the design concept of strut-and-tie models,
Ibracon Structural Journal, vol 3, n.1,p. 1-18, 2007.
[09] Brugge, M. Generating strut-and-tie patterns for
reinforced concrete structures using topology
optimization. Computers and Structures,
87:1483-1495, 2009.
[10] Rozvany, G.I.N.; Bendoe, M.P.; Kirsch, U. Layout
optimization of structures, Applied Mechanics Review,
v. 48, p. 41-119, 1995.
[11] STUMP, F. V. Otimização Topológica Aplicada ao
Projeto de Estruturas Tradicionais e Estruturas com
Gradação Funcional sujeitas a Restrição de Tensão.
Figura 12 – Proposta de disposição de armaduras
para a viga com abertura (Schlaich et al. , [1])
Tabela 3 – Verificação das tensões atuantes nas bielas
Tirantes Esforços (MN)  (MPa) . 0.8 f = 20 (MPa)cd
C3 -3,3 -28 Reforço
C5 -1,4 -20 Ok
C6 -1,7 -18,5 Ok
C7 -5,5 -18,5 Ok
C8 -2,6 -22 Reforço