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1. Introdução
O concreto protendido desenvolveu-se cientificamente a partir do
início do século passado, e consolidou-se a partir dos anos quaren-
ta. Segundo Rudloff [1], utilizar o sistema de protensão em estrutu-
ras de concreto significa fazer uso de uma tecnologia inteligente,
eficaz e duradoura. Inteligente no sentido de aproveitar ao máximo a
resistência mecânica do aço e do concreto, que são seus principais
materiais constituintes. Eficaz devido a sua superioridade técnica
em relação às soluções convencionais, proporcionando estruturas
seguras e mais confortáveis. E duradoura no sentido de promover
uma vida útil longa aos seus elementos, podendo apresentar baixa
ou nenhuma necessidade de manutenção no decorrer da sua vida.
Características como a ultrapassagem de grandes vãos, melhor
controle e redução das deformações e da fissuração, aplicação em
peças pré-fabricadas, recuperação e reforço estrutural e utilização
deste sistema em elementos mais esbeltos, tipo lajes planas (sem
a presença de vigas), mostram algumas vantagens que justificam o
emprego global desta tecnologia tanto para execução de projetos ar-
quitetônicos convencionais e arrojados, como em obras de pequeno,
médio e grande porte. Entre as vantagens econômicas, destacam-se
a redução das quantidades necessárias de concreto e aço, devido ao
emprego eficiente de materiais de maior resistência, possibilidade de
vencer vãos maiores que o concreto armado convencional e, ainda,
para o mesmo vão, pode-se reduzir a altura necessária da peça.
Neste artigo apresentam-se as rotinas computacionais, que foram
implementadas para automatizar a verificação de peças fletidas em
concreto com protensão aderente e não aderente, conforme reco-
mendações das normas brasileira (NBR 6118:2007) e francesa
(
Règles
BPEL 91). O programa considera as situações de protensão
completa, limitada e parcial, e verifica, conforme cada caso, os es-
tados limites de descompressão, de formação e de abertura das fis-
suras, além dos estados limites últimos finais e no ato da protensão.
A análise estrutural é feita com o emprego de um elemento finito do
tipo híbrido para pórticos planos, empregado por Barbieri [2], que
possibilita a utilização de elementos longos, de maneira que um úni-
co elemento finito pode ser utilizado para um vão de viga ou pilar. O
modelo numérico implementado considera o comportamento não-
-linear dos materiais e a fissuração do concreto, a não-linearidade
geométrica, carregamentos cíclicos e a construção composta.
Neste artigo são abordados somente alguns dos procedimentos
de verificação recomendados pela norma brasileira e pela norma
francesa. O texto completo, sobre estes critérios de verificação,
pode ser encontrado em Lazzari [3]. Como exemplo, foram anali-
sadas duas situações de projeto, uma com protensão parcial ade-
rente, levando em conta a utilização de cabos retos aderentes, e,
outra, não aderente, onde foram utilizados os cabos curvos não
aderentes. Nestes exemplos foi feita a verificação quanto ao esta-
do limite de serviço de abertura de fissuras e estado limite último,
analisando-se os resultados de acordo com cada norma.
2. Modelo numérico
O modelo numérico baseado na formulação do elemento finito do tipo
híbrido, proposto por Barbieri et al. [4], foi empregado para a análise de
pórticos planos submetidos à protensão. Como as funções de interpo-
lação deste elemento são as próprias equações que descrevem a va-
riação das forças ao longo de uma barra e os esforços são as variáveis
interpoladas, torna-se, desta forma, possível, a utilização de elementos
longos, sendo viável a utilização de um único elemento finito para a
descrição de uma peça, reduzindo, assim, o esforço computacional.
Conforme Barbieri [2], o caráter teoricamente exato da formulação, isto
é, a utilização de condições de equilíbrio sem depender de hipóteses
arbitrárias na função de interpolação, contribui para a boa modelagem
dos cabos não aderentes, já que a tensão nestas armaduras depende
das curvaturas de todas as seções do elemento protendido.
O modelo numérico adotado possibilita a consideração da não-
-linearidade geométrica, dos carregamentos cíclicos e da construção
composta, que considera a concretagem por fases. Em relação aos
materiais, foram empregados modelos constitutivos não-lineares para
o concreto, o aço da armadura passiva e o aço de protensão, já con-
solidados na literatura. Uma cadeia de Maxwell de cinco elementos é
utilizada na representação do modelo reológico do concreto e do aço
de protensão, sempre respeitando as características de cada material.
2.1 Discretização da estrutura
No modelo numérico adotado, cada barra do pórtico plano é repre-
sentada através do seu eixo longitudinal de referência, o qual coin-
cide com o eixo do elemento finito. Cada elemento finito é com-
posto por dois nós, o nó inicial e o nó final. Um ou mais elementos
finitos, que apresentam três graus de liberdade por nó, podem ser
utilizados para a discretização de cada barra de pórtico.
Para cada elemento finito é definido um número discreto ímpar de
seções transversais, as quais são utilizadas como pontos de inte-
gração no interior do elemento e definem as propriedades ao longo
de uma barra. Se as seções transversais estiverem uniformemente
distribuídas no elemento, então poderão ser utilizadas as técnicas
de integração de
Simpson
ou
Gauss-Lobatto
, caso contrário, se a
distribuição de seções transversais apresentarem um espaçamento
variável, então só será permitida a técnica de integração de
Gauss-
-Lobatto
, cujos resultados apresentam uma maior precisão em
relação aos resultados da integração de
Simpson
. As matrizes de
rigidez e de carga do elemento finito são montadas por integração
das propriedades das seções transversais ao longo de seu eixo.
As respostas ao longo do elemento, como forças, deformações e
deslocamentos, são obtidas nestas mesmas seções transversais.
Os módulos de integração ao longo do elemento são os subinterva-
los com propriedades constantes que juntos formam o intervalo total
de integração, o qual é correspondente ao comprimento do elemen-
to. Estes módulos são utilizados para que a integração de funções
descontínuas, como em elementos longos com descontinuidades
geométricas, constitutivas ou de carregamento ao longo de seu com-
primento, apresente uma adequada precisão numérica. Estas des-
continuidades podem ser de natureza geométrica, quando seções de
diferentes formatos são utilizadas, ou constitutiva, no caso de ocor-
rerem diferentes materiais ao longo de uma mesma barra, como, por
exemplo, a utilização de dois concretos-tipo no mesmo elemento. As
armaduras, passivas ou de protensão, e os carregamentos também
são frequentemente descontínuos, como nos casos de escalona-
mento da protensão ou de cargas concentradas, respectivamente.
Um número ímpar de lâminas
de pequena espessura e largura
qualquer se distribui ao longo do eixo vertical de simetria das
seções transversais. Estas lâminas representam os pontos de
integração ao longo da altura da seção. Em relação ao eixo lon-
gitudinal do elemento, sabe-se que pode interceptar cada seção
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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
P. M. LAZZARI | A. CAMPOS FILHO | F. P. S. L. GASTAL | R. A. BARBIERI | R. C. SCHWINGEL