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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
L. A. F. de Souza | R. D. Machado
3. Modelo constitutivo para o aço
Neste artigo, utiliza-se um modelo uniaxial para descrever o
comportamento das armaduras, uma vez que, em estruturas
de concreto armado, as barras de aço resistem fundamental-
mente a esforços axiais. No modelo computacional implemen-
tado, o aço é representado como um material elastoplástico e
com o mesmo comportamento em tração e em compressão.
A representação se dá por um diagrama tensão-deformação
bilinear. Assim, a tensão no aço é determinada por (Tiago
et
al
. [17]):
(7)
σ =
{
E
a
ε
E
at
ε
, -ε
sy
≤
ε
≤
ε
sy
,caso contrário
Onde
E
a
é o módulo de elasticidade longitudinal inicial do aço,
e
sy
é a extensão de cedência e
E
at
=
k
a
E
a
é o módulo de elasticidade
longitudinal após a cedência do aço.
4. Elemento de interface de linha
As descontinuidades geométricas podem ser modeladas com mui-
to êxito por meio de elementos finitos de interface. Esses elemen-
tos têm a finalidade de transmitir esforços entre os dois corpos ou
partes do mesmo entre os quais se encontra.
Neste artigo foram utilizados elementos de interface de linha para
simular fissuras pré-estabelecidas na peça supondo o modo de
fraturamento I. O efeito de modo I é representado pela transmis-
são de esforços normais às faces da fissura.
O elemento de interface de linha é baseado no trabalho de Schel-
lekens [16]. Esse elemento unidimensional é isoparamétrico, com
quatro pontos nodais (dois graus de liberdade por nó -
u
,
v
), fun-
ções de forma lineares e espessura zero.
O vetor de deslocamentos nodais u é dado por:
(8)
u=
[
u
1
v
1
u
2
v
2
u
3
v
3
u
4
v
4
]
T
Onde e ,
i
= 1,...,4, são os deslocamentos nodais na direção
ξ
e
η
, respectivamente. O operador B que relaciona os des-
locamentos nodais ao campo de deslocamentos relativos do
elemento é:
(9)
B=
[
[
h
1
0 h
2
0 h
3
0 h
4
0
0 h
1
0 h
2
0 h
3
0 h
4
Onde ,
i
= 1,...,4, são as funções de forma dadas por:
(10)
h
1
=h
4
=
1
2
(
1-
)
uma deformação equivalente que é expressa por (Pituba e Pro-
ença [13]):
(2)
ϵ
~
= <
ϵ
1
>
+
2
+<
ϵ
2
>
+
2
+<
ϵ
3
>
+
2
Onde
e
i
,
i
= 1,...,3, são componentes de deformação principal e
<
e
i
>
+
,
i
= 1,...,3, são as partes positivas definidas por:
(3)
<
ϵ
i
>
+
=
1
2
(ϵ | |)
i
+ ϵ
i
O concreto, em relação aos modos de ruptura, apresenta um compor-
tamento distinto a tensões de tração e compressão. A ruptura do con-
creto por esforços de tração é ocasionada pela formação de fissuras e
consequente perda de resistência normal à direção da fissura. Quanto
à ruína na compressão, o concreto apresenta um comportamento que
pode ser considerado como plástico, que é o esmagamento ocasionado
pela superação da coesão interna por efeito da tensão de cisalhamento
caracterizada por grande quantidade de microfissuras (Leonel
et al
. [9]).
Considerando-se um carregamento continuamente crescente ou
radial, das curvas tensão-deformação obtidas em ensaios uniaxiais
de tração e compressão, podem ser determinadas explicitamente
as variáveis de dano
D
T
e
D
C
da seguinte forma, respectivamente:
(4)
D
T
(ε)=1-
ε
d0
1(
(
(
( -A
T
ε
-
A
T
e
B
T
ε-ε
d0
~
~
~
(5)
D
c
(ε)=1-
ε
d0
1(
(
(
( -A
c
ε
-
A
c
e
B
T
ε-ε
d0
~
~
~
Onde
A
T
e
B
T
são parâmetros característicos do material em tra-
ção uniaxial,
A
C
e
B
C
são parâmetros do material em compressão
uniaxial e
e
d0
é a deformação elástica limite. Os subindices
T
e
C
significam tração e compressão, respectivamente.
Para estados complexos de tensão, a variável de dano pode ser
determinada por uma combinação linear de
D
T
e
D
C
mediante a
seguinte condição (Pituba e Proença [13]):
(6)
D=α
T
D
T
(
(
ε
ε
~
~
)
)
+α
C
D
c
,
α
T
+α
C
=1
Onde os coeficientes
a
T
e
α
C
assumem valores no intervalo fechado
[0,1], e representam a contribuição de solicitações à tração e à com-
pressão para o estado local de extensão, respectivamente. Mazars
[10] propôs os seguintes limites de variação para os parâmetros
A
T
,
B
T
,
A
C
e
B
C
, obtidos a partir da calibração com resultados experimentais:
0,7
≤
A
T
≤
1 10
4
≤
B
T
≤
10
5
1
≤
A
C
≤
1,5 10
3
≤
B
C
≤
2 10
3
10
-5
≤
≤
2 10
-4