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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
Numerical-computational analysis of reinforced concrete structures considering the damage,
fracture and failure criterion
Onde
σ
u
é a tensão última de tração do material. Esse modelo está
de acordo com os princípios da Mecânica da Fratura, uma vez que
a área limitada pela curva tensão transmitida através da fissura
versus
abertura da fissura (
σ
x
w
) é igual à energia de fratura do
material (
G
f
).
O modelo constitutivo de amolecimento exponencial é caracte-
rizado pela curva na qual a rigidez à tração decresce exponen-
cialmente em relação ao deslocamento relativo. Nesse modelo é
desprezada a contribuição da componente de rigidez tangencial.
A matriz D pode ser escrita por:
(17)
D=
[
[
{
0 0
0 K
0
'
w≤w
c
→K
0
'
=K
0
e
-θw
w>w
c
→K
0
'
=0
Onde
θ
é o coeficiente de amolecimento exponencial. A energia
de fraturamento (G
f
) para o amolecimento exponencial pode ser
obtida integrando-se a lei constitutiva e variando-se a abertura da
fissura de 0 a
∝
, obtendo-se:
(18)
G
f
=
σ
u
Θ
O modelo constitutivo bilinear é caracterizado por uma curva com
duas inclinações diferentes, considerando que o material perde
a resistência desde o início da solicitação. A matriz D pode ser
escrita na forma:
(19)
[
[
{
D=
0 0
0 K
0
'
w
≤
w
1
→
K
0
'
=K
0
+
(
K
1
-K
0
)
w
w
1
w
1
<w=w
c
→
K
0
'
=
K
1
(
w-w
c
)
w
1
-w
c
w>w
c
→
K
0
'
=0
Onde
w
1
é a abertura da fissura e
K
1
é a rigidez à tração a partir
da qual a relação rigidez-abertura obedece à outra lei constitutiva.
No caso de amolecimento bilinear, a abertura crítica de fissura
w
c
é obtida por:
(20)
w
c
=
2G
F
U
-w
1
-
2
U
1
Onde
σ
1
é a tensão de tração do material para a abertura igual a
w
1
.
5. Critério de resistência de Tsai e Wu
O procedimento proposto por Tsai e Wu [18] foi o de aumentar o
número de termos na equação do critério de falha de Hill [6], com o
objetivo de melhor aproximar os dados experimentais obtidos para
os vários materiais. A falha de um determinado material é interpre-
tada como a ocorrência de qualquer descontinuidade na resposta
(11)
h
2
=h
3
=
1
2
(
1
+
)
Usualmente, as tensões são avaliadas em função das deformações;
no entanto, no caso das tensões na interface, as mesmas são deter-
minadas em função dos deslocamentos relativos. Os deslocamentos
relativos (
D
w) do elemento são calculados através da seguinte relação:
(12)
w
=
Bu
Sendo D a matriz de propriedades do material, considerando que o
elemento de interface de linha não tem dimensão na direção
η
e que
a espessura
e
é constante ao longo do comprimento do mesmo, a
matriz de rigidez K é obtida por:
(13)
K=e
∫
B
T
DB
L
d
=1
=-1
Onde
L
é o comprimento do elemento. A matriz constitutiva D é
dada por:
(14)
D=
[
[
K
S
0
0 K
0
Onde
K
S
e
K
0
denotam as componentes de rigidez horizontal (rigi-
dez tangencial) e rigidez vertical (rigidez à tração), respectivamen-
te. No cálculo das componentes de rigidez da matriz D, pode-se
considerar o fenômeno de amolecimento – linear, bilinear ou expo-
nencial - no modelo constitutivo.
O modelo de amolecimento linear despreza os efeitos coesivos tangen-
ciais e simplifica a curva de rigidez à tração, considerando que omaterial
perde a resistência desde o início. A matriz D pode ser escrita na forma:
(15)
D=
[
[
0 0
0 K
0
'
{
w≤w
c
→K
0
'
=K
0
(
w
c
-w
w
c
)
w>w
c
→K
0
'
=0
Onde
w
c
é o deslocamento relativo crítico a partir do qual não há transmis-
são de esforços entre as faces da fissura,
K
0
é a rigidez à tração inicial, e
w
é a abertura entre os nós do elemento de interface normal às faces da
fissura. A abertura da fissura crítica (
w
c
), no caso de amolecimento linear,
é obtida a partir da energia de fraturamento (
G
f
) e é dada por:
(16)
w
c
=
2G
F
U