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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
L. A. F. de Souza | R. D. Machado
do material aos estímulos mecânicos (Nicolas
et al
. [12]). Algumas
das descontinuidades de interesse são: o início da não linearidade
na relação tensão
versus
deformação, a ocorrência de deforma-
ções irreversíveis e a ruptura do material. As condições para a
ocorrência desses fenômenos são referidas como critério de falha
ou de ruptura. A condição de ruptura frágil deve ser considerada
como um caso especial em que o critério de falha por escoamento
coincide com o critério de falha por ruptura (Gagliardo
et al
. [3]).
Considerando-se materiais totalmente anisotrópicos, deve-se
admitir que os modos de falha sejam condicionados tanto pelas
tensões normais quanto pelas tangenciais, visto que as fraturas
podem ocorrer em virtude de diferentes conjuntos de tensões que
agem sobre o elemento. De forma geral, essa teoria pode ser
apresentada por:
(21)
F
i
σ
i
6
i=1
+
F
ij
σ
i
σ
j
6
j=1
+
6
i=1
F
ijk
σ
i
σ
j
6
k=1
6
j=1
6
i=1
σ
k
+
...
= 1
Os coeficientes
F
i
,
F
ij
e
F
ijk
são estruturas rearranjadas de tenso-
res de 1
a
, 2
a
e 3
a
ordem, respectivamente. Uma vantagem desse
método é que existe liberdade para a utilização de tantos termos
quantos forem necessários para a aproximação dos pontos ex-
perimentais de um material. Contudo, uma vez que cada cons-
tante está associada a um tipo distinto de ensaio mecânico para
sua determinação, comumente a Equação 21 restringe-se apenas
aos termos de 2
a
ordem. Caso isso não seja feito, a quantidade
e a complexidade dos ensaios necessários para a determinação
das constantes tornaria inviável o método. Assim, a Equação 21
reduz-se a:
(22)
F
i
σ
i
6
i=1
+
F
ij
σ
i
σ
j
6 6
j=1
i=1
=1
Considerando o estado plano de tensões aplicado a materiais or-
totrópicos e desenvolvendo a Equação (22), obtém-se:
(23)
F
1
σ
1
+F
2
σ
2
+F
11
σ
1
2
+F
22
σ
2
2
+2F
12
σ
1
σ
2
+ F
44
σ
4
2
=1
Onde
σ
i
,
i
= 1,
…
,3, são as tensões principais e
σ
4
é a tensão de cisa-
lhamento. A Equação (23) indica que o estado de tensões encontra-
-se num ponto crítico (no limite da falha). Entretanto, se o estado de
tensões dado pelo membro esquerdo da Equação (23) apresentar
resultado numérico inferior a um, tem-se a situação de seguran-
ça. Diferentemente de outros critérios de resistência, esse leva em
consideração o efeito das componentes hidrostáticas das tensões.
6. Método de Comprimento de Arco
com o processo de iteração tipo
Newton-Raphson modificado
Para problemas de ponto limite, ao aplicar-se o método de Newton-
-Raphson com controle de carga, a matriz de rigidez tende a singu-
larizar nas proximidades desse ponto em sua trajetória ascenden-
te. Uma alternativa para detectar e ultrapassar o ponto limite é a
utilização de métodos de solução associados ao método Newton-
-Raphson, como por exemplo, o método de Comprimento de Arco.
O método de Comprimento de Arco caracteriza-se por apresentar um
controle concomitante de carga e deslocamento. Há duas incógnitas:
o incremento do fator de carga
∆ϕ
e o vetor de incremento de deslo-
camento
∆
u. Em cada passo de solução, as trajetórias de iteração são
perpendiculares aos arcos, que por sua vez podem ser aproximados
por tangentes à trajetória de equilíbrio, nos pontos iniciais desses pas-
sos (Ramm [15]). Considerando o método Comprimento de Arco com
o processo de iteração tipo Newton-Raphson modificado, as equações
de equilíbrio para i-ésima iteração podem ser escritas como:
(24)
K
T
a
u
i
= φ
i
R
0
+ Q
i-1
Onde é o incremento do fator de carga da iteração i, é o vetor
incremento de deslocamento, é o vetor de cargas de referência,
é a matriz de rigidez tangente atualizada apenas no início de cada
passo de carga, e é o vetor de cargas não equilibradas dado por:
(25)
Q
i-1
=R
ext
i-1
-F
int
i
Sendo o vetor de forças externas e é o vetor de forças nodais
internas. O vetor deve ser escrito em função do fator de carga ,
atualizado ao final da iteração anterior, e do vetor de cargas de
referência, constante, através da seguinte relação:
(26)
R
ext
i-1
=φ
i-1
R
0
Para um sistema de ordem
n
+1, equivalendo
n
ao número de
graus de liberdade da estrutura, tem-se:
(27)
[
{
{ {
{
[
K
T
a
-R
0
u
1
φ
1
u
i
φ
i
=
Q
i-1
0
Onde é o primeiro vetor de incrementos de deslocamento do
passo de solução e o primeiro incremento do fator de carga no
referido passo. Nota-se que a resolução do sistema dado em (27)
gera um sistema de equações com solução não-trivial mesmo que
a matriz seja singular, o que representa grande vantagem para a
solução de problemas com ponto limite.
6.1 Critérios de convergência
Com o objetivo de limitar os processos iterativos, dois critérios de
convergência são estabelecidos: um para os deslocamentos e ou-
tro para as forças.