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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 1
Numerical-computational analysis of reinforced concrete structures considering the damage,
fracture and failure criterion
O critério de convergência para os deslocamentos deve obedecer
a seguinte desigualdade:
(28)
‖
u
i
‖ ‖
u
i
‖
≤
u
tol
Onde o numerador é a norma euclidiana do vetor de incremento
de deslocamento
∆
u
i
correspondente à iteração
i
, e o denominador
é a norma euclidiana do vetor de deslocamento total u
i
=u
i-1
+
∆
u
i
da i-ésima iteração.
O critério de convergência para forças deve obedecer à relação:
(29)
‖
Q
i
‖ ‖
φ
i
R
0
‖
≤
Q
tol
Onde o numerador é a norma euclidiana do incremento de carga
não equilibrada correspondente à iteração
i
, e o denominador é
a norma euclidiana do incremento de força do passo de solução.
7. Resultados e discussões
7.1 Simulação 1
Este exemplo, adaptado de Jarek
et al
. [7], faz uma análise não linear
unidimensional por elementos finitos de uma viga de concreto arma-
do, considerando o modelo de dano de Mazars [10] para simular o
concreto e o modelo elastoplástico bilinear para o aço. Como critério
de falha para o concreto foi adotado o critério de Tsai e Wu [18]. A
viga biapoiada tem 6 m de comprimento, seção transversal retangular
de (20 x 40) cm
2
, sujeita a uma força concentrada aplicada no meio
do vão. As armaduras longitudinais inferiores (
A
st
) e superiores (
A
sc
)
da mesma são constituídas por 3
f
12,5mm, com recobrimento de
0,02m. Na Tabela 1 são apresentados os parâmetros materiais e os
coeficientes de resistência para o critério de Tsai e Wu [18].
Na discretização por elementos finitos, foram empregados 100 ele-
mentos de viga com 2 nós e 2 graus de liberdade/nó, fazendo-se o uso
das simetrias de carregamento e geometria, analisando-se, portanto,
apenas metade da viga (Figura 1). Para a resolução das equações não
lineares, utilizou-se o método de Newton-Raphson modificado combi-
nado com a técnica de Comprimento de Arco. O incremento de carga
utilizado foi tomado igual a 0,5 kN. Os erros máximos admitidos no final
de cada incremento foram
u
tol
= 10
-3
e
Q
tol
= 10
-2
.
Na análise, a deformação equivalente é avaliada da seguinte for-
ma (Tiago
et al
. [17]):
(30)
ε
~
=
{
ε
x
-ν 2ε
x
, ε
x
≥
0
, ε
x
<
0
Onde
ν
é o coeficiente de Poisson do concreto.
A rigidez à flexão equivalente da viga (
EI
eq
) é determinada con-
siderando duas parcelas. A primeira refere-se à rigidez à flexão
equivalente para o concreto (
EI
eqc
) e é obtida dividindo-se a seção
transversal da viga em
n
camadas. O momento de inércia
I
i
refe-
rente a i-ésima
camada é calculado através do Teorema do Eixo
Paralelo por:
(31)
I
i
=– –
b
(
y
i
-
y
i-1
)
3
12
+
b
(
y
i
-y
i-1
)
(
y
i-1
+
y
i
-y
i-1
2
)
2
,
i=1,
...
,n
Tabela 1 – Parâmetros do modelo
Concreto
Aço
Tsai and Wu [18]
Coeficiente
Equação
Valores adotados
(MPa) (Gagliardo
et al. [3])
E = 30,2 GPa
c0
E = 210 GPa
a
F
1
0,224
= 0,2
= 0,3
F
2
0
A = 0,995
T
k = 0,85
a
F
11
-0,0288
5
B = 10
T
F
22
0
A = 1,1
C
F
44
0,0305
3
B = 8 10
C
F
12
±0,00385
1 1
f
t1
f
c1
f
c2
1 1
f
t2
1
f
t1
f
c1
1
f
t2
f
c2
1
2
f
v4
±
F
11
F
22