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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 6
T. F. SILVA | J. C. DELLA BELLA
gura 4. O ângulo θ
1
é aquele que iguala f
c2max
a f
cd1
. Desta forma é
possível demonstrar que:
(37)
θ
1
= arccos
(
0,00118-2.ε
yd
+ε
' c
(ε
' c
-0,00118)
)
2
Como a função cosseno produz o mesmo resultado não importa
o sinal do ângulo, tanto θ
1
positivo como negativo são soluções.
De forma análoga, θ
2
é o valor que iguala f
c2max
com f
cd2
. Assim,
tem-se que:
(38)
(
)
θ
2
= arccos 0,003627-2.ε
yd
+ε
' c
(ε
' c
-0,003627)
2
Também para θ
2
, tanto a solução positiva quanto negativa satisfa-
zem a equação 38.
Porém, se θ ultrapassar certo limite, a deformação ε
y
assumi va-
lores positivos. Desta forma, a área de armadura em y resulta em
valores negativos, o que não é fisicamente possível. Dado que por
hipótese ε
x
= ε
yd
e que ε
2
= ε’
c
, pode-se calcular para quais valores
de θ ε
y
é menor que 0. Deseja-se então encontrar θ* para o qual ε
y
= 0. Do círculo de Mohr, tem-se que:
(39)
ε
1
+ε
2
=ε
x
+ε
y
Então:
(40)
ε
1
=ε
yd
-ε'
c
Também através do círculo de Mohr, já substituindo θ por θ*, tem-
-se que:
Figura 4 – Resistência à compressão do
concreto em função de
θ
para o caso III
Tabela 1 – Valores de
θ
1,
θ
2 e
θ
* para os aços
prescritos pela NBR 6118 para o caso III
(‰)
yd
o
|
θ
| ( )
1
o
|
θ
| ( )
2
o
|
θ
*| ( )
CA-25
1,04
12,17
42,74
39,07
CA-50
2,07
NÃO EXISTE 31,74
35,03
CA-60
2,48
NÃO EXISTE 26,79
33,74
(41)
ε
x
= ε
1
+ε
2
2 +
(
ε
1
-ε
2
2
)
.cos2θ
*
Substituindo 40 em 41, chega-se que:
(42)
θ
*
= arccos
(
ε
yd
ε
yd
-2.ε
' c
)
2
A Tabela 1 apresenta os valores de θ
1
, θ
2
e θ* para os aços determinados
pela NBR 6118 [14]. Pode-se observar que para os aços CA-50 e CA-
60 não existem valores de θ
1
. Isto acontece porque para os valores de
deformação assumidos por hipótese para este problema, a resistência do
concreto nunca atinge o valor de f
cd1
para estes aços. Assim, a resistência
do concretoatinge seumáximoparaquandoθ=0º. Istoposto, igualandoa
solicitação com resistência, tem-se que se θ
1
existe e θ = 0, então n
xy
= 0 e:
(43)
f
cd1
= n
c
h
Se θ
1
existe e 0 < θ ≤ |θ
1
|, então:
(44)
f
cd1
= 2.n
xy
h.sen(2θ)
Se θ
1
não existe e θ = 0, então nxy = 0 e:
(45)
f
cd1
0,8+170.
[
2.ε
yd
-ε'
c
.(1-cos2θ)
(1+cos2θ)
]
= n
c
h
Se θ
1
existe e |θ
1
|< θ < |θ
2
| ou se θ
1
não existe e 0 < θ < |θ
2
|, então:
(46)
f
cd1
0,8+170.
[
2.ε
yd
-ε'
c
.(1-cos2θ)
(1+cos2θ)
]
= 2.n
xy
h.sen(2θ)