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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 6
E. L. MADUREIRA | J.I.S.L. ÁVILA
A resistência à tração, por sua vez, pode ser obtida a partir da
equação:
(9)
tu
c
pt
f
.
8.01
'
2
para a qual “
s
tu
” representa a resistência máxima à tração uniaxial.
Para elementos solicitados em estado de tração biaxial, a resis-
tência é constante e igual à resistência máxima do concreto à tra-
ção uniaxial.
As deformações referentes às tensões de pico em estado de com-
pressão biaxial são obtidas conforme a expressão:
(10)
2 3
2
2
co
p
e
1
2
1
3
1
1
35.0
25.2 6.1
co
p
onde
c
p
f
1
1
s
β
=
,
c
p
f
2
2
s
β
=
e“
e
co
”éadeformaçãocorrespondente
à tensão de compressão de pico para estado uniaxial de tensões.
Para o concreto submetido a estado plano de tensões utiliza-se
a relação constitutiva na forma incremental proposta por Desai e
Siriwardance, ( apud[9]), escrita mediante:
(11)
.
).G -(1
0
0
0
E
.E
0
E
1
1
12
22
11
2
2
2 1
2 1
1
2
12
22
11
d
d
d
E
EE
d
d
d
camente sua uniformidade e continuidade, e, quanto maior a di-
mensão do elemento finito tanto maior será a variação de rigidez
em seu interior. Com vistas a compensar os erros decorrentes de
tal perturbação e minimizar a perda da qualidade dos resultados,
utiliza-se, neste trabalho, o recurso proposto por Kwak e Filippou
[9], definindo-se a deformação última de tração do concreto por:
(3)
) 3.(
) /3 ln( .
.2
b
f
b
G
t
f
o
para a qual “
b
” é a dimensão do elemento finito, expressa em po-
legadas. Os parâmetros “
f
t
” e “
G
f
” representam, respectivamente,
a resistência à tração e a energia de fraturamento por unidade
de área do concreto, este último definido conforme os critérios do
CEB-FIP model code 90[4].
O módulo de deformação adotado para o concreto será o módulo
reduzido, dado a partir de:
(4)
0
85,0
E
E
cs
onde “E
o
” é o módulo de deformação inicial expresso, segundo
[13], na forma da equação a seguir.
(5)
) MPa ( f
5600
E
ck
o
As tensões limite no concreto são definidas pela envoltória de Ku-
pfer e Gerstle [8], figura 2, descrita por:
(6)
0
65.3
)
(
1
2
2
2 1
onde
'
1 1
/
c
f
s
β
=
,
'
2 2
/
c
f
s
β
=
. “
s
1
” e “
s
2
”
são as tensões prin-
cipais com 0 >
s
1
>
s
2
. “
'
c
f
” é a resistência à compressão uniaxial
do concreto. Se
2 1
/
s
s
α
=
então a resistência à compressão
biaxial será dada por:
(7)
'
2
2
)
1(
.65.31
c
c
f
e
c
cu
c
2
1
.
Em compressão-tração, a resistência à compressão é dada me-
diante a forma proposta por Darwin e Pecknold, definida em [3] e
[9], na forma:
(8)
'
2
2
)
1(
.28.31
c
c
f
Figura 2 – Envoltória de ruptura do concreto
para estado biaxial de tensões