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489 IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 3
R. N. F. do Carmo | J. Valença | D. Dias-da-Costa
Segundo o EC2 [9] e outros regulamentos, no cálculo da curvatura
média deve ser realizado através de uma ponderação entre o esta-
do não fendilhado e totalmente fendilhado, aplicando a Equação 2.
(2) (1/r)m = .(1/r)II + (1 -  ).(1/r)I
(1/r)m - curvatura média
(1/r)I - curvatura numa secção não fendilhada
(1/r)II - curvatura numa secção totalmente fendilhada
z - coeficiente de distribuição que tem em conta a contribuição do
betão traccionado entre fendas
Num elemento de betão armado, a deformação da armadura trac-
cionada é variável ao longo do eixo da viga. Consequentemente,
a rotação plástica tem também uma variação descontínua, de-
pendendo essencialmente da curvatura das secções fendilhadas,
sendo pequena a contribuição da curvatura das secções entre fen-
das. Na Figura 2, a área preenchida pela trama diagonal corres-
ponde ao integral da curvatura plástica ao longo do comprimento
da rótula plástica, o que equivale a afirmar que essa área é igual
ao valor da rotação plástica.
A Figura 2 permite ainda observar que a curvatura plástica ten-
de concentrar-se nas secções fendilhadas. Bachmann em 1967
[10] propôs um método expedito para calcular a rotação em
troços de viga baseado nas rotações que ocorrem nas fendas
(rotação entre as duas faces da fenda). Este método tem como
principal particularidade não determinar a rotação a partir da
curvatura. Para se aplicar este modelo de cálculo é necessário
conhecer o número de fendas no troço em análise, a sua lar-
gura, e a profundidade do eixo neutro em cada fenda [11-12].
A fotogrametria e o processamento de imagem são excelentes
técnicas para obter estes dados.
Este modelo é baseado numa análise discreta do elemento de
betão armado e, consequentemente, há uma descontinuidade da
tangente à deformada em cada fenda. A Figura 3 exemplifica este
cálculo para o troço de uma viga numa zona de momentos nega-
previsto. Nas situações mais duvidosas é necessário efectuar uma
verificação explícita dessa capacidade. Nesse contexto, é funda-
mental conhecer a relação momento-curvatura ou a relação entre
a capacidade de rotação plástica e o parâmetro x/d (EC2 [9]).
A capacidade de rotação plástica é definida como a diferença en-
tre a rotação correspondente à carga última e a rotação verificada
no início da cedência das armaduras. Portanto, a rotação plástica
pode ser calculada como a integral da curvatura após a cedência
das armaduras na zona plastificada (Eq. 1).
(1)
qpl - rotação plástica
lpl - comprimento da rótula plástica
1/r - curvatura total da secção
1/ry - curvatura da secção no instante da cedência das armaduras
es - extensão total das armaduras
esy - extensão de cedência das armaduras
d - altura útil da secção
x - profundidade do eixo neutro
A dificuldade na determinação da rotação nas regiões críticas
deve-se ao facto da curvatura ter um desenvolvimento descon-
tínuo, devido à variação da rigidez à flexão nas secções fendi-
lhadas e nas secções entre fendas. Por outro lado, na região
da rótula plástica, o pressuposto de que as secções se mantêm
planas durante a deformação não é válido numa situação pró-
xima da rotura. Estas particularidades dificultam o cálculo da
rotação a partir da integração da curvatura ao longo do eixo do
elemento.
A contribuição do betão entre fendas na resistência à tracção origi-
na variações significativas da rigidez à flexão, o “tension stiffening
effect”. A não consideração deste efeito pode conduzir a previsões
pouco realistas, i.e., se apenas se contabilizar a curvatura de uma
secção totalmente fendilhada, obter-se-á um valor da rotação su-
perior ao real (Fig. 1).
Figura 3 – Método de Bachmann para o cálculo da rotação (exemplo de uma região sobre o apoio) [11-12]