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300 IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 2
Experimental and numerical analysis of reinforced concrete mushroom slabs
nitos utilizando-se o software comercial MIDAS FEA. Foram ge-
rados modelos axissimétricos tendo como referência as análises
feitas por Ferreira [14], Menetrey [15] e Trautwein [16]. Nestas
análises os autores buscaram simplificar a modelagem compu-
tacional transformando os modelos experimentais em modelos
axissimétricos, que são aqueles onde existe simetria em torno de
um eixo para a geometria, para as propriedades dos materiais e
para os carregamentos. Para isso os autores tiveram que fazer
adaptações no modelo computacional, principalmente quanto às
armaduras de flexão, transformando as barras que na prática são
distribuídas de forma ortogonal em armaduras axissimétricas, que
são aquelas formadas por anéis e por barras radiais, conforme
mostrado na Figura 10.
As comparações entre os resultados computacionais e experi-
mentais feitas por estes autores indicam que, no que se refere
ao comportamento carga x deslocamento, os modelos computa-
cionais apresentam um comportamento significativamente mais
rígido. Segundo os autores, isso na verdade representa um com-
portamento já observado também experimentalmente em ensaios
como os de Kinnunen e Nylander [7], uma vez que as armaduras
do tipo anel e barras radiais tendem a combater de forma mais
eficiente a fissuração de flexão, aumentando a rigidez da laje.
Porém, quanto às cargas de ruptura, os autores observaram que
é possível obter resultados muito próximos aos experimentais e
que, portanto, estas análises são válidas e podem permitir uma
melhor compreensão do fenômeno da punção.
Os dados de entrada usados na análise não-linear para definir
os materiais foram: Coeficiente de Poisson do concreto νc = 0,15;
Resistência do concreto à compressão fc = 32 MPa; Fixed cra-
ck model; Efeito da fissuração lateral segundo Vecchio e Collins
[17]; Desconsideração do efeito de confinamento; Valor básico de
energia de fratura para um agregado de dimensão máxima de 9,5
mm Gf0 = 0,0259 N.mm/mm2; Energia de fratura a compressão Gc
= 10 N.mm/mm2; Módulo de elasticidade do aço Es = 200 GPa;
Coeficiente de Poisson do aço νs = 0,30; Tensão de escoamento
do aço fys = 550 N/mm2; Módulo de elasticidade do concreto igual
Ec = 27 GPa. Para o cálculo da energia de fratura necessária para
gerar fissuração à tração foi utilizada a Equação 10, abaixo:
(10)
7,0
0
0 





 
cm
cm
f f f
f
G G
(11) f f f c cm   '
Onde:
Gf0 é a valor básico de energia de fratura determinado em função
do diâmetro do agregado;
fcm é a resistência à compressão média do concreto (Equação 11);
fcm0 é admitido como igual a 10 MPa.
Para simular o carregamento foi aplicado um deslocamento de 50
mm na extremidade dos modelos, há uma distância de 100 mm
da extremidade da laje. A Figura 11 mostra os modelos das lajes
utilizados no trabalho, com suas respectivas malhas e detalhes. O
método de interação utilizado foi o de Newton Raphson, com 160
passos de carga e 200 interações por passo de carga, sendo ado-
tado como critério de convergência de energia com tolerância de
10-3 . Para analisar o concreto à compressão foi adotado o compor-
tamento de uma lei parabólica de hardening e softening (endure-
cimento e amolecimento), proposto por Feenstra [18]. O diagrama
tensão-deformação do concreto não-confinado sob tração uniaxial
foi definido como linear até a fissuração. Após as primeiras fissu-
ras a tensão de tração se reduz exponencialmente em função da
deformação na direção normal à fissura (nn), e para mais detalhes
sobre as curvas adotadas, ver o trabalho de Lima Neto [19].
4.1 Laje sem capitel
Para adotar a malha ideal para este modelo, foi realizado um estu-
do paramétrico, usando modelos para calibração da malha ideal,
fazendo uma variação com os índices de refinamento da malha
do modelo, e por fim adotando os valores baseados no estudo
paramétrico realizado por Ferreira [14], em seu trabalho. Sendo
assim, foram adotados como parâmetros referentes à resistência
a tração do concreto (f ct) e fator de retenção de cisalhamento (βc )
os valores 1,85 MPa e 0,12, respectivamente. Na Figura 11a, é
apresentado o modelo da laje LC1 utilizado para esta análise com
a presença da armadura tangencial e radial, o ponto de aplicação
do deslocamento, o eixo de simetria e a região de apoio do pilar.
Na Figura 12a, observa-se que em relação ao deslocamento o
modelo numérico apresentou maior rigidez que o encontrado ex-
perimentalmente na laje LC1, resultado este que já era esperado,
como foi comentado anteriormente. Porém, quando comparadas
às cargas de ruptura observa-se resultados mais próximos, uma
vez que a carga de ruptura experimental desta laje foi de 327 kN
e a encontrada no modelo numérico foi de 309 kN, ou seja, uma
diferença de apenas 5,5% (ver Tabela 3).
A distribuição de tensões normais da Figura 13a mostram a forma-
ção de 2 bielas comprimidas, sendo que a mais expressiva pode
ter gerado as tensões de tração que possibilitou a abertura da
superfície de ruptura. Assim como, tensões compressivas concen-
tradas próximas a ligação laje-pilar com valor acima da resistência
à compressão do concreto, que pode ter gerado o esmagamento
do concreto neste ponto e possibilitado dessa forma a ruptura por
punção. Nota-se também que o raio aproximado para o apareci-
mento do suposto cone de ruptura na face superior da laje, a partir
da face do pilar, seria próximo do que foi encontrado experimental-
mente (2,8·d). Observa-se na Figura 14a as fissuras formadas por
tensões radiais que se desenvolveram em 3 pontos diferentes e
que foram surgindo conforme o acréscimo do carregamento, a pri-
meiras fissuras mais próximas dos pilares e que se estabilizaram
nos últimos passos de carga e as fissuras mais distantes do pilar,
que apareceram nas fases mais críticas de carregamento e que se
tornam parte do cone de ruptura. Percebe-se também a passagem
da provável superfície de ruptura próxima a essas fissuras, com
uma inclinação com a horizontal de 24º, não distante do que foi
observado em laboratório (23º).
Quanto às deformações no concreto da laje LC1, é possível obser-
var na Figura 15a e 15b que os resultados dos modelos numéricos
aproximaram-se dos experimentais. Percebe-se que os extensô-
metros tangenciais (C1 e C2) apresentaram deformações próxi-
mas às observadas nos modelos (C1N e C2N), para o mesmo
nível de carregamento. Porém não se observa o mesmo compor-