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IBRACON Structures and Materials Journal • 2013 • vol. 6 • nº 2
Ultrasonic tomography in concrete
adotar outros modos de leituras que podem ser encontrados em
Perlin [11].
Para o modo de leitura com faces opostas simples, o sistema
de equações tomográfico resultante é indeterminado, indepen-
dente de quantas leituras forem efetuadas (JACKSON
et al
.
[19]). Para o modo de leitura com faces opostas completo, o
sistema tomográfico resultante é sobredeterminado, e tratando-
-se de leituras reais, que estão sujeitas à erros intrínsecos do
ensaio, o sistema poderá ser inconsistente (Figura 4-d). Os sis-
temas tomográficos indeterminados estão fora do escopo deste
artigo, focando os trabalhos nos sistemas determinado e sobre-
determinado.
Dentre os métodos para a resolução de sistema de equações li-
neares, encontram-se métodos diretos e métodos iterativos. Os
métodos diretos comumente utilizados são: inversão da matriz D,
regra de Cramer, escalonamento de Gauss e o dos mínimos qua-
drados. Já quanto aos métodos iterativos destacam-se: Gauss-
-Jacobi, Gauss-Seidel, Kaczmarz e Cimmino.
Em um longo estudo teórico, que pode ser encontrado em
Perlin [11], foi possível determinar que o melhor método a ser
utilizado na resolução de um sistema retangular característi-
co de um processo tomográfico é o método iterativo de Cim-
mino. Jackson
et al
. [19] adotaram ainda uma modificação
otimizada do processo iterativo de Cimmino, que possibilita
uma convergência mais rápida para o resultado do problema,
denominado Cimmino otimizado, conforme apresentado na
Equação 7.
(7)
P
n (k )
=P
n ( k-1 )
+W
m,n T
*
[
T
m
-D
m,n
*P
n (k-1)
]
onde:
k: é número da iteração atual;
m: é o número de equações do sistema;
n: é o número de incógnitas do sistema;
P
n
(k)
: armazena os valores do passo iterativo atual k;
P
n
(k–1)
: armazena os valores do passo iterativo anterior k – 1;
W
m,n
: matriz construída por:
(8)
w
ij
= d
ij
N
j
*
Σ
(d
ik
)
2
mk=1
;
N
j
: número de equações onde o termo da dimensão é diferente de zero;
d
ij
: termo da linha i e coluna j da matriz D
m,n
.
Para melhor compreensão do processo de resolução para o
problema tomográfico, identifica-se que o termo dentro dos col-
chetes representa a variação DT
m
(k)
do passo iterativo k, lem-
brando que para a primeira iteração é necessário estipular uma
estimativa inicial para P
n
(0)
. A transposta da matriz W
m,n
tem a
função de calcular as variações das velocidades do pulso ul-
trassônico de cada elemento discretizado devido à variação
dos tempos de propagação das leituras ultrassônicas DT
m
(k)
,
obtendo então DP
n
(k)
para a iteração k, que, quando somado à
P
n
(k–1)
, resultará em um campo de velocidades que satisfaz melhor
as leituras ultrassônicas realizadas.
Figura 5 – Modos de leitura – (a) faces opostas simples – (b) faces opostas completo
A
B
Figura 6 – Pontos de leitura para
o caso bidimensional
